Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6 Blatt 8 Blatt 12A04 Zwischenprüfung

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 9

Abgabetermin: Do 15. Dezember 2011 nach der Vorlesung.

Zeigen Sie, dass für jede ganze Zahl \(n\ge 3\) die Gruppe \([z,s;z^n=1,s^2=1,szs=z^{-1}]\) isomorph zur Diedergruppe \(D_n\) ist.

Die Gruppe \(\SL{\Z}\) hat die Präsentation \([s,t;s^2=(st)^3, s^4=1]\). Bestimmen Sie die Gruppe der Homomorphismen \(\SL{\Z}\rightarrow \C^\times\).

Bestimmen Sie die Einheitengruppen der folgenden Ringe: \(\Z^{n\times n}\), \({\mathcal C}([0,1])\), \(\Z/100\Z\).

Es bezeichne \(X\) eine Menge und \(P:={\mathcal P}(X)\) ihre Potenzmenge. Wir definieren auf \(P\) folgendermassen zwei Verknüpfungen: \[ A+B:=(A\setminus B) \cup (B\setminus A), \qquad A \cdot B := A\cap B . \] Zeigen Sie, dass die so definierte Addition und Multiplikation eine Ringstruktur auf \(P\) definieren.