Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6   Blatt 8   Blatt 12A04   Zwischenprüfung

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 3

Abgabetermin: Do 3. November 2011 am Ende der Vorlesung

  1. Zeigen Sie, dass sich jeder Zykel in \(S_n\) als Produkt von Transpositionen schreiben lässt. Da jede Permutation ein Produkt von Zykeln ist (wie wir später in der Vorlesung lernen werden), sehen wir, dass sich jede Permutation als Produkt von Transpositionen schreiben lässt.
  2. Folgern Sie aus 1., dass die symmetrische Gruppe \(S_n\) von den Tranpositionen \((i,i+1)\) (\(1\le i\lt n\)) erzeugt wird.
  3. Folgern Sie aus 2., dass die symmetrische Gruppe \(S_n\) von den beiden Zykeln \((1,2)\) und \((1,2,3,\dots,n)\) erzeugt wird,

Zeigen Sie, dass \(\SL\Z\) von den Elementen \(S=\mat 0{-1}10\) und \(T=\mat 1101\) erzeugt wird. Hinweis: Um zu zeigen, dass eine Matrix \(A=\mat abcd\) als Produkt von Potenzen von \(S\) und \(T\) geschrieben werden kann, können Sie eine Induktion über \(|c|\) benutzen. Betrachten Sie für den Induktionsschritt die Produkte \(SA\) und \(TA\).

Zeigen Sie, dass \(\SL{\Z/2\Z}\) zur symmetrischen Gruppe \(S_3\) isomorph ist.

Bestimmen Sie die Automorphismen der Kleinschen Vierer-Gruppe \(V_4\).

Sei \(S\) eine nicht-leere Teilemenge einer Gruppe \(G\). Zeigen Sie, dass \(S\) genau dann eine Untergruppe der Gruppe \(G\) ist, falls für alle \(a,b\) in \(S\) auch \(ab^{-1}\) in \(S\) enthalten ist.