Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6 Blatt 8 Blatt 12A04 Zwischenprüfung

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 13

Abgabetermin: Do 26. Januar 2012 nach der Vorlesung.

Bestimmen Sie die Automorphismengruppe des Körpers \(\Q[x]/(x^4+1)\).

Bestimmen Sie ein normiertes Polynom \(f\) in \(\Z[x]\) vom Grad \(4\), welches modulo der Primzahlen \(p=2,3,5\) in Linearfaktoren zerfällt und keine reelle Nullstelle besitzt. (Man sagt \(f\) zerfällt in Linearfaktoren modulo \(p\), falls das Polynom in \(\Z/p\Z\), welches man aus \(f\) erhält, indem man die Koeffizienten durch ihre Restklassen modulo \(p\) ersetzt, in Linearfaktoren zerfällt.)

Berechnen Sie die Anzahl \(a(n)\) der irreduziblen Polynome in \(\F_2[x]\) vom Grad \(n\) für \(1\le n\le 10\). Was kann man über die Zahlenfolge \(a(n)\) aussagen?

Bestimmen Sie alle Körperisomorphismen \[\F_5[x]/(x^3 + x + 1) \rightarrow \F_5[x]/(x^3 + x^2 + x + 3).\]