Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6   Blatt 8   Blatt 12A04   Zwischenprüfung

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 6

Abgabetermin: Do 24. November 2011 am Ende der Vorlesung

Sei \(c:G\rightarrow \sym{Aut}(N)\), \(g\mapsto c_g\) ein Homomorphismus der Gruppe \(G\) in die Automorphismengruppe der Gruppe \(N\). Mit \(N\rtimes_c G\) (oder kürzer \(N\rtimes G\)) bezeichnen wir die Menge \(N\times G\) versehen mit der Operation \((n,g)\cdot(n',g'):=(n\,c_g(n'),gg')\).

  1. Zeigen Sie, dass \(N\rtimes G\) eine Gruppe ist.
  2. Für welches \(c\) ist \(N\rtimes_c G\) gleich dem direkten Produkt \(N\times G\)?
  3. Seien jetzt \(G\) und \(N\) Untergruppen der Gruppe \(\widehat G\). Es sei \(N\) normal in \(\widehat G\), es sei \(N\cap G=\{1\}\) und \(GN=\widehat G\). Zeigen Sie, dass \(N\rtimes G\) isomorph zu \(\widehat G\) ist. Hierbei ist \(N\rtimes G\) bezüglich des Homomorpismus \(c:G\rightarrow \sym{Aut}(N)\) gebildet, der \(g\) auf die Konjugation mit \(g\), d.h. auf den Automorphismus \(c_g\) von \(N\) mit \(c_g(n)=gng^{-1}\), abbildet.

Es bezeichnet \(\E(n)\) (wie in der Vorlesung) die Bewegungsgruppe des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raums, d.h. die Gruppe aller bijektiven Abbildungen des \(\R^n\) auf sich selbst, die den Abstand zweier beliebiger Punkte invariant lassen. Zeigen Sie, dass \(\E(n)\) zur Gruppe \(\R^n\rtimes_c \sym{O}(n,\R)\) isomorph ist, wobei \(c_g\) für \(g\) in \(\sym{O}(n,\R)\) durch \(c_g(x)=gx\) (Anwendung der Matrix \(g\) uf den Vektor \(x\)) erklärt ist.

Es bezeichne \(\mu_n\) die Gruppe der \(n\)-ten Einheitswurzeln, und \(c:\{\pm1\}\rightarrow \sym{Aut}(\mu_n)\) den Homorphismus \(c_\varepsilon(z) = z^{\varepsilon}\). Wir setzen \(D_n:=\{\pm 1\}\rtimes_c \mu_n\). Zeigen Sie, dass \(V_4\) zu \(D_2\), und dass \(S_3\) zu \(D_3\) isomorph ist.

Sei \(p\) eine Primzahl. Berechnen Sie die Ordnung der Gruppe \(\Gamma:=\sym{SL}(n,\Z/p\Z)\). Hinweis: Betrachten Sie die natürliche Operation von \(\Gamma\) auf der Menge \(X\) der von Null verschiedenen Spaltenvektoren in \((\Z/p\Z)^n\) und wenden Sie die Abzählformel an.

Bestimmen Sie die Orbits der Menge der Spaltenvektoren \((\Z/2\Z)^4\) unter der nat\ürlichen Operation der Gruppe \(G:=\sym{O}(4,\Z/2\Z)\) auf Spaltenvektoren. (\(G\) ist die Gruppe aller \(4\times 4\)-Matrizen \(A\) mit Einträgen in \(\Z/2\Z\), fü:r die \(A^tA=1\) gilt.)