Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6   Blatt 8   Blatt 12A04   Zwischenprüfung

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 2

Abgabetermin: Do 27. Oktober 2011 am Ende der Vorlesung

Es bezeichne \(\sym{SO}(2,\R)\) die Gruppe aller \(2\times2\)-Matrizen \(A\) mit reellen Einträgen, sodass \(A^tA=1\) gilt.

  1. Zeigen Sie, dass eine Matrix \(A\) genau dann in \(\sym{SO}(2,\R)\) liegt, falls sie von der Gestalt \(\mat a{-b}ba\) mit \(a^2+b^2=1\) ist.
  2. Zeigen Sie, dass eine Matrix \(A\) genau dann in \(\sym{SO}(2,\R)\) liegt, falls es eine reelle Zahl \(\phi\) gibt, sodass \(A=D(\phi):=\mat {\cos\phi}{-\sin\phi}{\sin\phi}{\cos\phi}\).
  3. Zeigen Sie, dass \(D(\phi)D(\psi)=D(\phi+\psi)\) gilt.

Zeigen Sie, dass es keine bijektive Abbildung \(f:\Z/4\Z\rightarrow V_4\) gibt, sodass \(f(a+b)=f(a)f(b)\) für alle \(a,b\) in \(\Z/4\Z\) gilt.

Sei \(M\) eine kommutative Halbgruppe, d.h. eine Menge \(M\) zusammen mit einer binären Verknüpfung "\(\cdot\)", die assoziativ und kommutativ ist und ein Neutralelement besitzt. Wir definieren auf \(M\times M\) eine Relation via \[ (a,b) \approx (c,d) \text{ genau dann wenn } \exists x\in M: adx=bcx . \]

  1. Zeigen Sie, dass \(\approx\) eine Äquivalenzrelation ist. Die Äquivalenzklasse eines Paares \((a,b)\) wird mit \(\{a,b\}\) bezeichnet, und die Menge aller Äquivalenzklassen mit \(G\)
  2. Wir definieren auf \(G\) eine binäre Operation \(\bullet\) via \(\{a,b\}\bullet\{a',b'\} := \{aa',bb'\}\). Zeigen Sie, dass \(\bullet:G\times G\rightarrow G\) wohldefiniert ist.
  3. Zeigen Sie, dass \(\bullet\) auf \(G\) eine Gruppenstruktur definiert.

Sei \(X\) eine Menge mit zwei Elementen. Bestimmen Sie für jede Abbildung \(f:X\rightarrow X\) und jede positive ganze Zahl \(n\) die Abbildung \(f^n\).

Sei \(x\) die Permutation aus \(S_3\), sodass \(1,2,3\mapsto 2,1,3\) und \(y\) die Permutation mit \(1,2,3\mapsto 2,3,1\). Zeigen Sie, dass \[ S_3 = \{x^iy^j: 0\le i\le 1, 0\le j\le 2\} \]

gilt.