Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 5

Sei $H$ eine Untergruppe der Gruppe $G$. Für $g$ in $G$ definieren wir eine Abbildung $m_g:G/H\rightarrow G/H$ vermöge $m_g(C) = gC$. Zeigen Sie, dass die Zuordnung $g\mapsto m_g$ einen Gruppenhomomorphismus $m:G\rightarrow \sym{Perm}(G/H)$ definiert. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Zeigen Sie, dass für jede endliche Untergruppe $\mu$ der Gruppe ${\mathbb S}^1$ (der komplexen Zahlen vom Absolutbetrag $1$) die Gruppe ${\mathbb S}^1/\mu$ isomorph zu ${\mathbb S}^1$ ist.

Es bezeichne $G$ die Gruppe aller reellen Matrizen der Form $\mat xy01$ ($x\not= 0$), und $H$ die Untergruppe der Matrizen mit $y=0$. Ein Element von $G$ kann durch einen Punkt in der $(x,y)$-Ebene repräsentiert werden. Bestimmen Sie die Teilmengen der $(x,y)$-Ebene, die den Linksnebenklassen in $G/H$ entsprechen, und zeichnen Sie diese. Führen Sie die gleiche Aufgabe für die Rechtsnebenklassen $H\backslash G$ durch.

Zeigen Sie, dass die Teilmenge $V:=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ der symmetrischen Gruppe $S_4$ eine normale Untergruppe ist, und dass $V$ zur Kleinschen Vierergruppe isomorph ist. Wir fassen $S_3$ als Untergruppe von $S_4$ auf, indem wir jedes Element von $S_3$ vermöge $4\mapsto 4$ zu einer Permutation in $S_4$ fortsetzen. Zeigen Sie, das $S_4=S_3V$. Können Sie die Gruppe $S_4/V$ identifizieren?

Bestimmen Sie alle Untergruppen der Gruppe $\sym{SL}(2,\Z/3\Z)$ und geben Sie an, welche normal sind, und welche zueinander konjugiert sind.