Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6 Blatt 8 Blatt 12A04 Zwischenprüfung

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 5

Abgabetermin: Do 17. November 2011 am Ende der Vorlesung

Sei \(H\) eine Untergruppe der Gruppe \(G\). Für \(g\) in \(G\) definieren wir eine Abbildung \(m_g:G/H\rightarrow G/H\) vermöge \(m_g(C) = gC\). Zeigen Sie, dass die Zuordnung \(g\mapsto m_g\) einen Gruppenhomomorphismus \(m:G\rightarrow \sym{Perm}(G/H)\) definiert. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

Zeigen Sie, dass für jede endliche Untergruppe \(\mu\) der Gruppe \({\mathbb S}^1\) (der komplexen Zahlen vom Absolutbetrag \(1\)) die Gruppe \({\mathbb S}^1/\mu\) isomorph zu \({\mathbb S}^1\) ist.

Es bezeichne \(G\) die Gruppe aller reellen Matrizen der Form \(\mat xy01\) (\(x\not= 0\)), und \(H\) die Untergruppe der Matrizen mit \(y=0\). Ein Element von \(G\) kann durch einen Punkt in der \((x,y)\)-Ebene repräsentiert werden. Bestimmen Sie die Teilmengen der \((x,y)\)-Ebene, die den Linksnebenklassen in \(G/H\) entsprechen, und zeichnen Sie diese. Führen Sie die gleiche Aufgabe für die Rechtsnebenklassen \(H\backslash G\) durch.

Zeigen Sie, dass die Teilmenge \(V:=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\) der symmetrischen Gruppe \(S_4\) eine normale Untergruppe ist, und dass \(V\) zur Kleinschen Vierergruppe isomorph ist. Wir fassen \(S_3\) als Untergruppe von \(S_4\) auf, indem wir jedes Element von \(S_3\) vermöge \(4\mapsto 4\) zu einer Permutation in \(S_4\) fortsetzen. Zeigen Sie, das \(S_4=S_3V\). Können Sie die Gruppe \(S_4/V\) identifizieren?

Bestimmen Sie alle Untergruppen der Gruppe \(\sym{SL}(2,\Z/3\Z)\) und geben Sie an, welche normal sind, und welche zueinander konjugiert sind.