Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6 Blatt 8 Blatt 12A04 Zwischenprüfung

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 12

Abgabetermin: Do 19. Januar 2012 nach der Vorlesung.

Zeigen Sie, dass die Elemente auf der rechen Seite der Faktorisierung \(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})\cdot(1-\sqrt{-5})\) irreduzibel in \(\Z[\sqrt{-5}]\) und paarweise nicht assoziert sind.

Zeigen Sie, dass \(\Z[i]\) versehen mit der Grad-Funktion \(a\mapsto |a|\) ein Euklidischer Ring ist.

Zerlegen Sie das Polynom \[f=x^3\,y^2 + x^2\,y^3 + x^3\,y + 2\,x^2\,y^2 + x\,y^3 + x^2\,y + x\,y^2 + x^2 + 2\,x\,y + y^2\] in irreduzible Faktoren in \(\Z[x,y]\).

Zeigen Sie, dass zu jeder Zahl \(n\) ein Ideal in \(\Z[x]\) existiert, welches nicht von weniger als \(n\) Elementen erzeugt werden kann. Hinweis: Betrachten Sie das Ideal \( I = (2^{n-1},2^{n-2}x,2^{n-3}x^2,\dots,x^{n-1})\), zeigen Sie, dass der Quotient \(I/(2,x)I\) der additiven Gruppen \(I\) und \((2,x)I\) ein Vektorraum über \(\F_2\) ist. Was ist die Dimension?