Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6 Blatt 8 Blatt 12A04 Zwischenprüfung

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 8

Abgabetermin: Fr 9. Dezember 2011 in Frau Boylans Postfach.

Bestimmen Sie jeweils die Anzahl der Sylow-Untergruppen der Gruppen \(\SL{\Z/3\Z}\) und \(\SL{\Z/4\Z}\). Hinweis: Eine Tabelle der Art "n : Anzahl der Elemente der Ordnung n" für die beiden Gruppen ist hilfreich.

Folgern Sie aus der vorangehenden Aufgabe, dass die Elemente der Ordnung \(2^t\) (\(t=0,1,2\)) eine normale Untergruppe \(A\) der Gruppe \(G:=\SL{\Z/3\Z}\) bilden. Zeigen Sie, dass \(\{1\}\), \(\{\pm 1\}\),\(A\) und \(G\) die einzigen normalen Untergruppen der Gruppe \(G\) sind (Hinweis: Sie können die Klassengleichung und die vorangehende Aufgabe benutzen). Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen \(G\rightarrow \C^\times\).

Zeigen Sie, dass Gruppen der Ordnung \(pq\) und \(pq^2\), wo \(p\) und \(q\) für verschiedene Primzahlen stehen, niemals einfach sind. Sie können ohne Beweis benutzen, dass eine Gruppe der Ordnung \(12\) nicht einfach ist.