Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abend von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen sind, soweit nicht anders gesagt, jeweils Donnerstags am Ende der Vorlesung abzugeben.

Musterlösungen

Blatt 6 Blatt 8 Blatt 12A04 Zwischenprüfung

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)

Übungsaufgaben zur Algebra 2011/2012 - Blatt 4

Abgabetermin: Do 10. November 2011 am Ende der Vorlesung

Bestimmen Sie das Zentrum der Gruppe \(\sym{SL}(2,\Z)\).

Zeigen Sie, dass das Zentrum der symmetrischen Gruppe \(S_n\) für \(n\ge3\) trivial ist.

Bestimmen Sie alle endlichen Untergruppen der Gruppe \(\mathbb{S}^1\) der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag \(1\).

Sei \(\varphi:S\rightarrow T\) eine Abbildung, sei \(\underline S\) die Menge der Fasern der Abbildung \(\varphi\) und \(\pi:S\rightarrow\underline S\) die kanonische Abbildung. Zeigen Sie, dass es genau eine Abbildung \(\underline \varphi:\underline S\rightarrow T\) gibt, sodass \(\underline \varphi \circ \pi = \varphi\) gilt. Zeigen Sie, dass \(\underline\varphi\) injektiv ist.

Sei \(\varphi:G\rightarrow H\) ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass die Abbildung \(U\mapsto \varphi^{-1}(U)\) eine Injektion der Menge der Untergruppen von \(H\) in die Menge der Untergruppen von \(G\) definiert. Was ist das Bild dieser Abbildung?