Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 9

Finden Sie alle ganzzahligen quadratischen Polynome \(f\), für die gilt:

1. \(f\) ist von der Gestalt \(ax^2+bx+c\) mit \(0 < b \le a \le c\), und
2. \(f\) besitzt genau dann eine Nullstelle modulo der Primzahl \(p\), wenn \(p\) von der Gestalt \(p=43l+r^2\) mit geeigneten ganzen Zahlen \(l\) und \(r\) ist.

Folgern Sie aus dem Gaußschen Kriterium die Formel \[ \leg ap = (-1)^{\sum_{k=1}^{\lfloor a/2\rfloor} \#\big(\frac {(2k-1)p}{2a},\frac {2kp}{2a}\big)\cap\Z} \] Hier ist \(p\) einen ungerade Primzahl und \(a\) eine zu \(p\) teilerfremde positive ganze Zahl.

Benutzen Sie die Formel aus Aufgabe 2, um eine explizite Formel für \(\leg 3p\) für beliebige ungerade Primzahlen \(p\) herzuleiten.

Sei \(\hil 2{\cdot}{\cdot}:\Q^*\times \Q^*\rightarrow \{\pm 1\}\) die symmetrische bilineare Abbildung, für die gilt:

1. \(\hil 2 ab = (-1)^{\frac {a^2-1}8\frac {b^2-1}8}\) für alle ungeraden ganzen Zahlen \(a,b\),
2. \(\hil 2 a2 = (-1)^{\frac {a-1}2}\) für alle ungeraden ganzen Zahlen \(a\),
3. \(\hil 2 22 = 1\).

Implementieren Sie in Ihrem CAS eine Funktion mat4vec(a), die zu einem ganzzahligen primitiven Zeilenvektor \(a\) eine Matrix \(A\) in \(\text{SL}(n,\Z)\) zurück gibt, die \(a\) als erste Zeile enthält.

Finden Sie die rationale Lösung der Gleichung \[ 57963448\,x^4 - 42611254\,x^3 - 46972\,x^2 + 392391647\,x - 288437443 =0 . \] Zähler und Nenner hintereinander geschrieben ergeben die ISBN-Nummer eines Buches - welches Buches?

Die folgende Aufgabe erfordert ein wenig Vertrautheit im Rechnen mit Gruppen. Sie behandelt einen weiteren interessanten Beweis der quadratischen Reziprozität, und deshalb wollen wir sie den Interessierten nicht vorenthalten. Der Eleganz des kurzen Ausdrucks wegen formulieren wir sie in Englisch.

For two odd primes \(p\) and \(q\), denote by \(G\) the group \((\Z/p\Z)^*\times (\Z/q\Z)^*\). We use \([a]_p\) and \([a]_q\) for the residue classes modulo \(p\) and \(q\) of the integer \(a\), and we set \(\varepsilon := ([-1]_p,[-1]_q)\). Finally, let \[ \pi:G\rightarrow G/\langle \varepsilon \rangle =: G' \] denote the canonical projection. By a (set-categoric) section of \(\pi\) we mean a map \(s:G'\rightarrow G\) such that \(s\circ \pi\) is the identity. Clearly, for such a section we have \(s(g)s(h)=s(gh)\) or \(s(g)s(h)=\varepsilon s(gh)\). Moreover, if \(s_1\) and \(s_2\) are two sections of \(\pi\), then, for every \(g\) in \(G'\), we have \(s_1(g)=s_2(g)\) or \(s_1(g)=\varepsilon s_2(g)\).

There are two obvious sections. Namely, \(S_1\) which associates to a \(g\) in \(G'\) that representative of \(g\) in \(G\) whose first component is of the form \([r]_p\) with \(0\lt r \lt p/2\). The other one is \(S_2\) which maps \(g\) in \(G'\) to that representative of \(g\) which can be written in the form \(([s]_p,[s]_q)\) with \(0 \lt s\lt pq/2\).

(i) Show that \[ \prod_{g\in G'} S_1(g) = \Big( (-1)^{\frac {p-1}2 \frac {q-1}2} \big[(\tfrac {p-1}2)!\big]_p^{\frac {q-1}2}, \big[(\tfrac {q-1}2)!\big]_q^{\frac {p-1}2} \Big) . \]

(ii) Show that \[ \prod_{g\in G'} S_2(g) = \Big( q^{\frac {p-1}2} \big[(\tfrac {p-1}2)!\big]_p^{\frac {q-1}2}, p^{\frac {q-1}2} \big[(\tfrac {q-1}2)!\big]_q^{\frac {p-1}2} \Big) . \]

(iii) Conclude from (i) and (ii) the quadratic reciprocity law for \(p\) and \(q\).