Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Dienstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Dienstag zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 10

Abgabetermin: Di 24. Juni 2014 zu Beginn der Übung.

Bestimmen Sie die positiven ganzzahligen Lösungen der Gleichung \(4 x + 7 y = 117\).

Bestimmen Sie nach der Diophantschen Methode eine Bijektion zwischen den rationalen Lösungen des der Gleichung \(5x^2+11y^2=1\) und \(\Q\).

Für eine Körper \(K\) seien \([x:y:z]\), \([u:v:w]\) zwei verschiedene Punkte im \(\P2(K)\). Zeigen Sie, dass genau eine Gerade \(H_{(a,b,c)}:aX+bY+cZ=0\) im \(\P2(K)\) existiert, die \([x:y:z]\) und \([u:v:w]\) enthält, und dass hierfür \[ (a,b,c) = (x,y,z) \wedge (u,v,w) \] gewählt werden kann. (Hierbei steht "\(\wedge\)" für das übliche Kreuzprodukt von Dreiervektoren.)

Könnnen Sie das vorangehende Problem "dualisieren"?

Bestimmen Sie die Familie aller über \(\Q\) definierten projektiven Kegelschnitte durch die Punkte \([1:0:1]\), \([0:1:1]\), \([-1:0:1]\) und \([0:-1:1]\).

Zeigen Sie, dass zu jedem über \(Q\) definierten projektiven Kegelschnitt \(C\) eine Matrix \(A\) in \(\sym{GL}(3,\Q)\) existiert, sodass die Zuordnung \([x:y:z]\mapsto A[x:y:z]\) eine Bijektion von \(C\) auf einen Kegelschnitt der Gestalt \(ax^2+by^2=z^2\) definiert. (Hinweis: "Quadratische Ergänzung" ist eine Möglichkeit.)