Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Dienstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Dienstag zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 11

Abgabetermin: Di 1. Juli 2014 zu Beginn der Übung.

1. Sei \(K\) ein beliebiger Körper, in dem \(3\) und \(5\) invertierbar sind. Bestimmen Sie eine rationale Bijektion zwischen \(\Pro^1(K)\) und dem projektiven Kegelschnitt \(3x^2+5xz=0\).

2. Was geschieht mit der von Ihnen bestimmten rationalen Abbildung, wenn \(K\) der Körper \(\Z/3\Z\) ist?

Zeichnen Sie eine Skizze der projektiven Ebene über dem Körper \(\Z/3\Z\).

Bestimmen Sie eine ganzzahlige primitive nicht-triviale Lösung der Gleichung \[ x^2+1751\,y^2=15z^2 . \]

Seien \(a\), \(b\) und \(c\) ganze quadratfreie, paarweise teilerfremde Zahlen. Folgern Sie aus dem Satz von Legendre, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. Der über \(\Q\) definierte projektive Kegelschnitt \(ax^2+by^2=z^2\) hat einen rationalen Punkt.
  2. Für jede Primzahl \(p\) and für \(p=\infty\) ist das Hilbertsymbol \(\hil p{\frac ac}{\frac bc}\) gleich \(1\).