Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Dienstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Dienstag zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 6

Abgabetermin: Di 20. Mai 2014 zu Beginn der Übung.

  1. Zeigen Sie das das Dirichlet-Produkt assoziativ ist.
  2. Zeigen Sie, dass das Inverse einer multiplikativen arithmetischen Funktion (bzgl. des Dirichlet-Produkts) wieder multiplikativ ist.

Bestimmen Sie die summatorische Funktion der Liouville-Funktion \(\lambda\).

(i) Seien \(f(x)\) und \(F(x)\) Funktionen in der reellen Variablen \(x>0\). Zeigen Sie, dass \[ F(x)=\sum_{l=1}^\infty f(x^{l}) \] die Identität \[ f(x) = \sum_{m=1}^\infty {\mu(m)} F(x^{m}) \] impliziert und umgekehrt (hierbei bedeutet \(\mu\) die Möbius-Funktion).

(ii) Zeigen Sie, dass für \(|t| < 1\) gilt \[ e^{-t} = \prod_{n=1}^\infty (1-t^n)^{\frac {\mu(n)}n} . \]