Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Dienstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Dienstag zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 8

Abgabetermin: Di 3. Mai 2014 zu Beginn der Übung.

Finden Sie jeweils alle ganzzahligen Lösungen der Gleichung

  1. \(10009 = x^2+y^2\),
  2. \(10037= x^2+y^2\),
  3. \(10061 = x^2+y^2\),
  4. \(10093 = x^2+y^2\),
  5. \(20021 = x^2+y^2\).

Zeigen Sie, dass für eine gegebene ungerade Zahl \(a\) und ganze Zahl \(n\ge 3\) die Kongruenz \(a\equiv x^2\bmod 2^n\) genau dann lösbar ist, wenn \(a\equiv 1\bmod 8\) gilt. (Hinweis: Blatt 7, Aufgabe 5 ist anwendbar.)

Sei \(p\) eine Primzahl. Zeigen Sie für jede zu \(p\) teilerfremde Zahl \(a\) und jeden positive Teiler \(n\) von \(p-1\) die Identität \[ \frac 1n\sum_{\chi^n=1} \chi(a) = \begin{cases} 1&\text{falls }a\equiv x^n\bmod p\text{ lösbar ist,}\\ 0&\text{sonst.} \end{cases} \] Hierbei is die Summe über aller Dirichletcharaktere modulo \(p\) zu nehmen, für die \(\chi^n=1\).

(i) Zeigen Sie für, jede ungerade Primzahl \(p\), dass \[ 2^{\frac {p-1}2} \prod_{0\lt r \lt \frac p2} r \equiv \big(\prod_{0 \lt s \lt \frac p4} 2r\big)\big(\prod_{\frac p4 \lt r \lt \frac p2} (2r-p)\big) \bmod p . \]

(ii) Folgern Sie, dass \[ 2^{\frac {p-1}2} \equiv (-1)^{\#\big\{r\in\Z:\frac p4 \lt r \lt \frac p2\big\}} \bmod p . \]

(iii) Folgern Sie schliesslich aus (ii) und dem Eulerschen Kriterium die Identität \[\leg 2p = (-1)^{\frac {p^2-1}8}.\]