übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 7

Beweisen Sie für ganze Zahlen \(r>0\) \[ \frac 1n \sum_{k=1}^n\sigma_r(k) \sim \frac {\zeta(r+1)}{r+1} n^{r}\quad(n\to\infty) . \]

Plotten Sie mit Sage (oder einem anderen CAS) die Funktion \[ g(x) = \frac 1{\lfloor x\rfloor^{r+1}} \sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\sigma_1(k) \] über dem Intervall \(1\le x\le b\) für \(b=10,100,1000,10\,000\).

Sei \(\pi(x)=\#\{p\text{ Primzahl}: p\le x\}\) und \(\zeta(s)\) die Riemannsche Zeta-Funktion. Für das Folgende bezeichne \(s\) eine reelle Zahl \(s>1\).

i) Zeigen Sie, dass \begin{equation*} s\int_0^\infty \pi(x) \, x^{-s}\,\frac {dx}x = \sum_{p} p^{-s} , \end{equation*} wobei die Summe über alle Primzahlen \(p\) zu nehmen ist. (Hinweis: Schreiben Sie \(\pi(x) = \sum_{p\le x}1\) und vertauschen Sie Summe und Integral.)

(ii) Folgern Sie hieraus und aus Blatt 6, Aufgabe 3 (ii) die Identität \[ \int_0^\infty \pi(x) \, x^{-s}\,\frac {dx}x = \sum_{n=1}^\infty \mu(n) \frac {\log \zeta(ns)}{ns} . \]

Sei \(f(x)\) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, \(p\) eine Primzahl und \(a\) eine ganze Zahl sodass \(f(a)\equiv 0\bmod p\), \(f'(a)\not\equiv 0\bmod p\). Zeigen Sie, dass es eine Folge \((a_n)_{n\ge0}\) ganzer Zahlen gibt, sodass \(a_0=a\), \(a_{n}\equiv a_{n-1}\bmod p^{n-1}\) und \(f(a_{n})\equiv 0 \bmod p^n\) für alle \(n\ge 1\) gilt.

(Hinweis: Setzen Sie \(a_{n+1}=a_n+tp^n\) und entwickeln Sie \(f(a_n+tp^n)\) nach Potenzen von \(t\).)

Zeigen Sie, dass zu jeder ungeraden Zahl \(a\) und jeder ganzen Zahl \(n\ge1\) ein \(h\ge 0\) existiert, sodass \(a\equiv \pm 5^h\bmod 2^n\) gilt.