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Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 2

Abgabetermin: Do 24. April 2011 zu Beginn der Vorlesung

Implementieren Sie das Sieb des Eratosthenes in Ihrem bevorzugten Computer-Algebra-System (CAS) und berechnen Sie damit die ersten 10000 Primzahlen.

Zeichnen Sie mittels Ihres CAS den Graphen der Funktion \[ \pi(x)=\#\{p\le x\mid p\text{ Primzahl}\} \] über dem Intervall \(0\le x\le 10\,000\).

Beweisen Sie für beliebige ganze Zahlen \(a\) und \(b\), dass \[ \sym{kgV}(a,b)\cdot{\sym{ggT}(a,b)}={ab} . \]

Finden Sie ganze Zahlen \(a,b,c\), sodass \(\sym{kgV}(a,b,c)\not=\frac {abc}{\sym{ggT}(a,b,c)}\).

Für eine positive ganze Zahl \(n\) bezeichne \(\sigma_0(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\).

  1. Berechnen Sie alle \(1441926535 \le h \le 1441928509\), sodass \(\sigma_0(h)=16\) und \(h\) eine ISBN-10 ist. Was ist der Titel des Buches, dessen ISBN-10-Nummer das 12-te dieser \(h\) ist?
  2. Zeigen Sie, dass \(\sigma_0(n)=\prod_{p^\nu\|n}(\nu+1)\). Hier läuft \(p^\nu\) über alle Primzahlpotenzen, die \(n\) genau teilen (d.h. sodass \(p^\nu|n\) und \(p^{\nu+1}\) die Zahl \(n\) nicht teilt).

Sei \(R\) ein angeordneter Ring, der die folgende Eigenschaft hat:

Jede Teilmenge \(A\) von \(R_\ge0\), die die \(0\) enthält, und mit jeder Zahl \(x\) auch ihren Nachfolger \(x+1\) ist gleich \(R_\ge0\).

Zeigen Sie, dass dann jede nicht-leere, nach unten beschränkte Teilmenge von \(R\) ein kleinstes Element enthält.