Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Dienstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Dienstag zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2014 - Blatt 3

Abgabetermin: Di 29. April 2013 zu Beginn der Übung.

Seien \(a_1, \dots, a_n\) ganze Zahlen. Beweisen Sie die folgenden Identitäten: \[ \Z\,a_1 + \cdots + \Z\, a_n = \Z\, \sym{ggT}(a_a,\dots,a_n), \quad \Z\,a_1 \cap \cdots \cap \Z\, a_n = \Z\, \sym{kgV}(a_a,\dots,a_n), . \]

Beweisen Sie, dass jede Matrix \(A=\mat abcd\) mit ganzzahligen Einträgen und Determinante \(ad-bc=\pm 1\) als Produkt der Matrizen \(S=\mat 0110\), \(T=\mat 1101\) und \(E=\mat {-1}10{-1}\) geschrieben werden kann. Beispiel: \(\mat 1237 = ST^3ST^2\). (Hinweis: Berechnen Sie \(S^{-1}A\) und \(T^{-n}A\) für \(n\in\Z\).)

Implementieren Sie einen Algorithmus der zu gegebener Matrix \(A\) wie in der vorangehenden Aufgabe eine Liste von Matrizen \(S\), \(T^n\) und \(E\) ausgibt, deren Produkt gleich \(A\) ist.

Es bezeichne \(p\) die kleinste Primzahl, sodass \(p+100\) die nächstgrößere Primzahl ist. Welches Tier besitzt ein Gen mit Gen-ID \(p\)?