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Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 8

Implementieren Sie eine Funktion, die als Input einen primitiven ganzzahligen Vektor \(a\) annimmt und eine Matrix in \(\sym{GL}(n,\Z)\) zurückgibt, deren erste Zeile der Vektor \(a\) ist.

Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen \(x=(x_1,\dots,x_{5})\) der Gleichung \(15x_1+35x_2+77x_3+143x_4+221x_5=17\) mit minimaler Norm \(|x|_\infty =\max_j |x_j|\).

Finden Sie eine Parameterdarstellung der Menge aller rationalen Lösungen der Gleichung \[ x^2+xy+2y^2=1 . \]

Bestimmen Sie alle rationalen Lösungen der Gleichung \begin{multline} 111546435\,x^8 - 663589691\,x^7 + 1722682053\,x^6 - 2548884183\,x^5\\ + 2350972631\,x^4 - 1384182753\,x^3 + 508024503\,x^2\\ - 106267661\,x + 9699690 = 0 . \end{multline}

Bestimmen Sie für jede ganze Zahl \(n\ge 0\) die Anzahl der Möglichkeiten den Betrag \(n\) Euros in Münzen zu \(2\), \(5\) oder \(10\) Cents auszuzahlen. (Hinweis: Ist \(a(n)\) die gefragte Anzahl, so betrachten Sie die erzeugende Funktion \(\sum_{n=0}^\infty a(n)x^n\), schreiben Sie diese als rationale Funktion, führen Sie eine Partialbruchzerlegung durch und gucken Sie.)