Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag von dieser Seite heruntergeladen werden.

Musterlösungen

Übungsblätter

$\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}$ $\newcommand {\C} {{\mathbb C}}$ $\newcommand {\E} {{\mathbb E}}$ $\newcommand {\F} {{\mathbb F}}$ $\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}$ $\newcommand {\R} {{\mathbb R}}$ $\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}$ $\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}$ $\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}$ $\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}$

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 3

Ich möchte die Äpfel meiner letzten Ernte verschenken. Wenn ich sie auf 51 Leute so verteile, dass jeder die gleiche Anzahl und möglichst viel erhält, behalte ich 13 übrig. Verteile ich sie aber auf 49 Leute, jedem gleich viele und möglichst viele, so behalte ich 16 übrig. Wieviel Äpfel habe ich mindestens?

Zeigen Sie, dass zu einer gegebenen natürlichen Zahl $l$ die Anzahl $A(l)$ der Lösungen $n$ der Gleichung $\varphi(n)=n$ endlich ist.
Bestimmen Sie alle $n$ mit $\varphi(n)=3780$.

Sei $p$ eine ungerade Primzahl und $w$ eine Primitivwurzel modulo $p$, sodass $w^{p-1}\not\equiv 1\bmod p^2$. Zeigen Sie, dass $w$ für jedes $n$ eine Primitivwurzel modulo $p^n$ ist.

Bestimmen Sie alle Nullstellen modulo $m$ des Polynoms $f$, für

$f(x)=x^2 + 2\,x + 48$ und $m=71$.
$f(x)=x^2+215\,x+1184$ und $m=5183$.
$f(x)=x^2-1$ und $m=1024$.

Sei $p$ eine Primzahl und $\alpha:\Z/p\Z\rightarrow \Z/p\Z$ eine beliebige Abbildung. Zeigen Sie, dass ein Polynom $f$ mit ganzzahligen Koeffizienten und vom Grad $\le p$ existiert, sodass $\alpha(x+p\Z) = f(x)+p\Z$ für alle ganzen Zahlen $x$ gilt.