Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag von dieser Seite heruntergeladen werden.

Musterlösungen

Übungsblätter

$\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}$ $\newcommand {\C} {{\mathbb C}}$ $\newcommand {\E} {{\mathbb E}}$ $\newcommand {\F} {{\mathbb F}}$ $\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}$ $\newcommand {\R} {{\mathbb R}}$ $\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}$ $\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}$ $\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}$ $\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}$

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 6

Zeigen Sie das die Abbildung \[ \varepsilon:(\Z/4\Z)^*\times (\Z/4\Z)^*\rightarrow \{\pm 1\}, \quad \varepsilon(a+4\Z,b+4\Z)=(-1)^{\frac{a-1}4\cdot \frac{b-1}4} \] wohldefiniert und $\Z$-bilinear ist.

Schreiben Sie die Menge aller Primzahlen \[ P := \big\{ p:x^2+x-1\equiv 0\bmod p^2 \text{ hat eine Loesung} \big\} \] als Schnitt der Menge aller Primzahlen mit einer Vereinigung von Restklassen.

Berechnen Sie die verallgemeinerten Legendresymbole

$\leg {111111111111111111112}{222222222222222222222221}$
$\leg {555555555555555555555554}{44444444444444444444444445}$

Bestimmen Sie 10 Tripel von Primzahlen $p$, $q$, $r$, sodass gilt: \[ \leg {-pq}r=+1,\quad \leg {qr}p=+1,\quad \leg {rp}q = +1. \]