Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag von dieser Seite heruntergeladen werden.

Musterlösungen

zum Herunterladen oder zum Anschauen

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9
\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 7

  1. Zeigen Sie das das Dirichlet-Produkt assoziativ ist.
  2. Zeigen Sie, dass das Inverse einer multiplikativen arithmetischen Funktion (bzgl. des Dirichlet-Produkts) wieder multiplikativ ist.

  1. Beweisen Sie für reelle Zahlen \(r>0\) \[ \frac 1n \sum_{k=1}^n\sigma_r(k) \sim \frac {\zeta(r+1)}2 n\quad(n\to\infty) . \]
  2. Plotten Sie mit Sage (oder einem anderen CAS) die Funktion \[ g(x) = \frac 1{\lfloor x\rfloor^2} \sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\sigma_1(k) \] über dem Intervall \(1\le x\le b\) für \(b=10,100,1000,10\,000\).

Es sei \(f(x)=\sum_{l=1}^\infty \frac 1l \pi(x^{1/l})\). Beeweisen Sie, dass \[ \pi(x) = \sum_{m=1}^\infty \frac {\mu(m)}m f(x^{1/m}). \] (Hierbei bedeutet \(\mu\) die Möbius-Funktion.)

Bestimmen Sie die summatorische Funktion der Liouville-Funktion \(\lambda\).

Sei \(\Delta>0\), \(\Delta\equiv 1\bmod 4\) eine quadratfreie Zahl. Beweisen Sie, dass für jede ganze Zahl \(n\ge 1\) die folgende Formel gilt: \[ \#\big\{x\bmod 2n: x^2\equiv \Delta\bmod 4n\big\} = \sum_{\begin{subarray}c d|n\\ n/d\text{ quadratfrei} \end{subarray} } \leg d\Delta \]