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Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 9

Zeigen Sie, dass zu jeder symmetrischen \(n\times n\)-Matrix \(G\) mit Einträgen aus \(\Q\) eine Matrix \(V\) in \(\sym{GL}(n,\Q)\) existiert, sodass \(V^tGV\) eine Diagonalmatrix ist. (Hinweis: Induktion über \(n\) und ``quadratisches Ergänzen'' ist eine mögliche Vorgehensweise.)

Finden Sie je \(10\) Tripel ganzer Zahlen \(a,b \gt 0\) und \(c \lt 0\), \(abc\) quadratfrei, sodass \[ ax^2+by^2+cz^2=0 \] keine bzw. mindestens eine nichttriviale Lösung besitzt.

Sei \(F\) eine symmetrische \(3\times 3\)-Matrix mit ganzzahligen Einträgen, \(\det(F)\not=0\), und sei \((a,b,c)\not=0\) ein ganzzahliger Vektor.

  1. Zeigen Sie, dass es in \(\sym{P}^2(\R)\) genau zwei Lösungen \([x:y:z]\) des Gleichungssystem \[ (x,y,z)F\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=0,\quad ax+by+bz=0 \] gibt (die für genau ein \([a:b:c]\) zusammenfallen).
  2. Zeigen Sie, dass entweder beide Lösungen homogene Koordinaten in \(\Q\) besitzen oder keine von beiden.

Besitzt die Gleichung \[ 111122\,x^2+222222222222\,y^2-22446011118477008535\,z^2=0 \] eine ganzzahlige nicht-triviale Lösung? Wenn ja, können Sie eine bestimmen?

Gegeben sei die quadratische Form \(f(X,Y,Z)=aX^2+bY^2+cZ^2\) mit \(abc\not=0\). Es gelte \(f(x,y,z)=abc\) für einen Vektor \((x,y,z)\). Konstruieren Sie eine nicht-triviale Lösung \((x',y',z')\) der Gleichung \(f(x',y',z')=0\).