Blatt 1

Aufgabe 1

1. Es ist x>0 oder x<0. Im letzten Fall folgt nach Addition von -x auf beiden Seiten der Ungleichung 0<-x.

2. Ist x>0, so folgt x\cdot x>0. Andernfalls ist -x>0 (nach 1.), und daher x^2=(-x)\cdot(-x)>0. (Es ist x^2=(-x)^2, da x^2-(-x)^2=(x-x)(x+x)=0.)

3. Nach 2. ist 1=1\cdot1>1.

Aufgabe 2

 {{{id=1| def sieve_of_eratosthenes( N = 100): """ Return the list of all primes $

Aufgabe 3

 {{{id=4| plot(prime_pi, 0, 10000, rgbcolor=(0,1,0)) /// }}}

Blatt 2

Aufgabe 1

Sei g der G.g.T. von a und b.

Teil (i)

Haben wir eine Lösung von ax+by=c, so folgt nach einer Bemerkung in der Vorlesung, dass der g die Zahl c teilt. Ist umkekehrt g Teiler von c, so ist c/g ganz. Nach dem Satz von Bézout gibt es ganze x' und y', sodass ax'+by'=g gilt. Dann ist aber a(x'c/g)+b(y'c/g)=c, und x'c/g und y'c/g sind ganz.

Teil (ii)

Ist x_0 und y_0 eine Lösung, so ist die Menge aller Lösungen \big\{(x_0+tb/g,y_0-ta/g): t\in\ZZ\big\}. In der Tat, ist x,y eine L\ösung, so folgt (x-x_0)a/g=-(y-y_0)b/g. Insbesondere ist b/g Teiler von (x-x_0)a/g. Es sind a/g und b/g aber teilerfremd, sodass folgt, dass b/g Teiler von x-x_0 ist, d.h. dass x=x_0+tb/g (und dann auch y=y_0-ta/g) für ein t in \ZZ gilt.

{{{id=24| %html

Aufgabe 2

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Aufgabe 2

 }}} {{{id=29| %hide %html

Bei Schwierigkeiten bitte nachfragen.

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Bei Schwierigkeiten bitte nachfragen.

}}}

Aufgabe 3
Teil 1.

Berechnung erfolgt durch einfaches Auflisten (mittels Sage) aller h im angegebenen Bereich, die die beiden angegebenen Bedingungen erfüllen:

{{{id=11| is_ISBN_10 = lambda n: true if 0 == sum(j*((n//10^(10-j))%10) for j in range(1,11))%11 else false ### Return true if n is a valid ISBN-10, otherwise false. solutions = [n for n in range(1441926535,1441928509) if (true == is_ISDN_10(n) and is_squarefree(n) and 4 == len( factor(n)))]; solutions /// [1441926542, 1441926615, 1441926631, 1441926739, 1441926895, 1441926941, 1441927123, 1441927131, 1441927190, 1441927255, 1441927506, 1441927522, 1441927565, 1441927646, 1441927662, 1441927689, 1441927743, 1441927794, 1441927905, 1441928022, 1441928030, 1441928103, 1441928138, 1441928278, 1441928499] }}} {{{id=15| isbn = solutions[11]; isbn /// 1441927522 }}} {{{id=21| %html das Buch /// das Buch }}}
Teil 2.

Sei n=p_1^{\nu_1}\cdots p_r^{\nu_r}. Wegen der eindeitigen Primfaktorzerlegung definiert die Zuordnung (t_1,\dots,t_r)\mapsto t_1\cdots t_r eine Bijektion

T(p_1^{\nu_1})\times\cdots\times T(p_1^{\nu_1})\rightarrow T(n) ,
wobei T(n) die Menge der positiven Teiler von n bezeichnet. Es ist offenbar \#T(p_j^{\nu_j})=\nu_j+1, woraus die Behauptung nun sofort folgt.

{{{id=28| /// }}}