Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag von dieser Seite heruntergeladen werden.
\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\)
\(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\)
\(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\)
\(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\)
\(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\)
\(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\)
\(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\)
\(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\)
\(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\)
\(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)
Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 4
Sei \(g\) ein Element der Ordnung \(d\) in der Gruppe \(G\), und sei \(k\) eine ganze Zahl. Berechnen Sie die Ordnung von \(g^k\).
Bestimmen Sie den Prozentsatz aller Primzahlen \(\le 10000\), für die \(2\) bzw. \(3\) bzw. \(5\) eine Primitivwurzel modulo \(p\) ist.
Welche Primzahl \(p<10^6\) hat die meisten Primitivwurzeln?
Zeigen Sie:
- Für \(k\le 3\) gibt es keine Primitivwurzeln modulo \(2^k\).
- Sei \(k\ge 1\). Zeigen Sie, dass es zu jeder ungeraden Zahl \(a\) eine Zahl \(l\ge 1\) gibt, sodass \(a\equiv \pm5^l\bmod 2^k\).