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Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 2

Seien \(a\), \(b\), \(c\) ganze Zahlen. (i) Zeigen Sie, dass \(ax+by=c\) genau dann in ganzen Zahlen lösbar ist, wenn der g.g.T. von \(a\) und \(b\) die Zahl \(c\) teilt. (ii) Falls letzteres der Fall ist, bestimmen Sie die Menge aller Lösungen.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

  1. Für alle ganzen Zahlen \(a,b\not=0\) gilt \(\sym{ggT}(a,b)\cdot\sym{kgv}(a,b)=ab\).
  2. Es gibt ganze Zahlen \(a,b,c\not=0\), sodass \(\sym{ggT}(a,b,c)\cdot\sym{kgv}(a,b,c)\not=abc\).
  3. \(\sym{ggT}(a_1,\dots,a_r)=\Z a_1+\cdots+\Z a_r\).
  4. \(\sym{kgV}(a_1,\dots,a_r)=\Z a_1\cap\cdots\cap\Z a_r\).

Für eine positive ganze Zahl \(n\) bezeichne \(\sigma_0(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\).

  1. Berechnen Sie alle \(1441926535 \le h \le 1441928509\), sodass \(\sigma_0(h)=16\) und \(h\) eine ISBN-10 ist. Wie heisst das Buch, dessen ISBN-10-Nummer das 12.-te dieser \(h\) ist?
  2. Zeigen Sie, dass \(\sigma_0(n)=\prod_{p^\nu\|n}(\nu+1)\). Hier läuft \(p^\nu\) über alle Primzahlpotenzen, die \(n\) genau teilen (d.h. sodass \(p^\nu|n\) und \(p^{\nu+1}\) die Zahl \(n\) nicht teilt).