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Musterlösungen

Übungsblätter

$\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}$ $\newcommand {\C} {{\mathbb C}}$ $\newcommand {\E} {{\mathbb E}}$ $\newcommand {\F} {{\mathbb F}}$ $\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}$ $\newcommand {\R} {{\mathbb R}}$ $\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}$ $\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}$ $\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}$ $\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}$

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2013 - Blatt 5

Zeigen Sie, dass die ungerade Zahl $a$ genau dann quadratischer Rest modulo $2^n$ ($n\ge 3$) ist, wenn $a\equiv 1\bmod 8$ gilt.

Sei $p$ eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie $\leg 2p = (-1)^{\frac {p^2-1}8}$. (Hinweis: Benutzen Sie die folgende Formel, die in der nächsten Vorlesung bewiesen wird: \[ \leg 2p = (-1)^n , \] wobei $n$ die Anzahl der ganzen Zahlen $j$ mit $\frac p4 \lt j \lt \frac p2$ bedeutet.)

Zeigen Sie experimentell (z.B. mit Sage), dass der Quotient \[ \frac {\#\big\{p\le x:7\equiv \square \bmod p\big\}} {\#\big\{p\le x\big\}} \] konvergiert. Wogegen?

Bestimmen Sie Folgen ganzer Zahlen $\{a_n\}_{n\ge 1}$ und $\{b_n\}_{n\ge 1}$, sodass $a_n^2\equiv b_n^2 \equiv -1 \bmod 5^n$ und $a_n\equiv 2\bmod 5$ bzw. $b_n\equiv 3\bmod 5$ gilt.

Bestimmen Sie die Primfaktorisierung der Zahl $9295$ im Ring $\Z[i]$. Wieviele Lösungen hat die Gleichung $9295=x^2+y^2$ in ganzen Zahlen $x$ und $y$?