Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 9

Abgabetermin: Di 21. Juni 2016 zu Beginn der Übung.

Parametrisieren Sie die rationalen Lösungen der Gleichung \(x^2+xy+y^2=1\).

Sei \(n\) ein perfektes Quadrat. Bestimmen Sie alle ganzahligen Lösungen von \(x^2-ny^2=1\).

Sei \(a,b,c\) ein pythagoräisches Tripel mit \(a+b+c=1000\). Was ist \(abc\)?. Welche Werte kann \(abc\) annehmen, falls \(a,b,c\) primitiv ist und \(a+b+c=10^{17}\) gilt?

Sei \(f(x,y)=aX^2+bxy+cy^2+dx+ey+f\) ein quadratisches Polynom mit rationalen Koeffizienten. Es gelte \(b^2-4ac\not=0\). Zeigen Sie, dass eine affine Transformation \(T(x,y))=(x,y)A+B\) mit \(A\in \mathrm{GL}(2,\mathbb{Q})\) und \(B\in \mathbb{Q}^2\) und ein Polynom \(h(x,y)=\alpha x^2+\beta y^2 +\gamma\) existiert, sodass \[ f(x,y) = h(T(x,y)) . \]