Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 7

Abgabetermin: Di 7. Juni 2016 zu Beginn der Übung.

Auf dem Ring der arithmetischen Funktionen definieren wir folgenden Operator \(\Delta\): \[(\Delta f)(n)=f(n+1)-f(n)\qquad(n\ge 1).\] Mit \(\Delta^k\) bezeichnen wir die \(k\)-fache Hintereinaderausführung von \(\Delta\).

  1. Beweisen Sie, dass es zu jedem Polynom \(f(x)\) ein Polynom \(F(x)\) gibt, sodass \(F(x+1)-F(x)=f(x)\).
  2. Folgern Sie, dass eine arithmetische Funktion \(f\) ganau dann polynomial ist (d.h. dass \(f\) zu einem Polynom auf \(\R\) fortgesetzt werden kann) wenn \(\Delta^kf=0\) für ein geeignetes \(k\) gilt.

  1. Sei \(f(x)=ax^r+\cdots\) ein Polynom \(r\)-ten Grades. Zeigen Sie, dass dann \[\frac 1{n^r}\sum_{1\le k\le n} f(n/k) \sim a\sum_{k=1}^n k^{-r}.\]
  2. Sei \(r\ge0\) eine ganze Zahl. Beweisen Sie \[\frac 1n \sum_{k=1}^n \sigma_r(n) \sim C\cdot n^{r}\zeta(r+1)\] mit einer Konstanten \(C\). Was ist der Wert von \(C\)?

Beweisen Sie (in den Bezeichungen der Vorlesung): \[\mathcal{A}_{\mathrm{pol}}^\ast = \mathcal{A}^\ast \cap \mathcal{A}_{\mathrm{pol}}.\]

Sei \(Q(x)=x^2+ax+b\) ein quadratisches Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, und des bezeichne \(f(n)\) die Anzahl der Nullstellen modulo \(n\). Zeigen Sie, dass \(D_f(s)=\sum_{n\ge 1} f(n)n^{-s}\) ein Eulerprodukt besitzt, und zeigen Sie, dass für jedes \(p\) der \(p\)-te Eulerfaktore eine rationale Funktion von \(p^{-s}\) ist.