Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 2

Abgabetermin: Do 28. April 2011 zu Beginn der Vorlesung

  1. Finden Sie die kleinste Zahl \(x\), sodass \begin{multline*} 2222222222222298763\,x \\ \equiv 1111111111111111111\bmod 111111111111111111111112 . \end{multline*}
  2. Es ist 16 Uhr. Welche Uhrzeit hat man nach \(1000\) Stunden?
  3. Es ist Mittwoch. Welchen Wochentag hat man in 1041 Tagen?
  4. Lösen Sie \[ 3x+5y \equiv 101\bmod 7, \quad 2x+6y \equiv 212\bmod 7 . \]

Fertigen Sie eine Multiplikationstafel für \(\F_{23}\) an.

Eine Dame geht über den Marktplatz. Ein Pferd tritt auf ihre Tasche und zerbricht die gekauften Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte den Schaden ersetzen und fragt die Dame, wie viele Eier in ihrer Tasche waren. Sie weiß die exakte Zahl nicht mehr, aber sie erinnert sich, dass genau ein Ei übrig bleibt, wenn sie beim Auspacken die Eier immer zu zweit aus der Tasche nimmt. Das Gleiche geschieht, wenn sie die Eier immer zu dritt, zu viert, zu fünft und zu sechst aus der Tasche nimmt. Nur wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bleibt kein Ei übrig. Was ist die kleinste Zahl an Eiern, welche die Frau in ihrer Tasche haben kann?

Seien \(a_1,\dots,a_r\) ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass \[ \Z a_1\cap \Z a_2 \cap \cdots \cap \Z a_r = \sym{kgV}(a_1,\dots,a_r) . \]

Bestimmen Sie alle Automorphismen des Rings \(\Z/m\Z\) (d.h. alle Bijektionen \(\alpha\) von \(\Z/m\Z\) auf sich selbst, sodass \(\alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y)\) und \(\alpha(x\cdot y)=\alpha(x)\cdot\alpha(y)\) für alle \(x\) und \(y\) in \(\Z/m\Z\) gilt).