Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}$ $\newcommand {\C} {{\mathbb C}}$ $\newcommand {\E} {{\mathbb E}}$ $\newcommand {\F} {{\mathbb F}}$ $\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}$ $\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}$ $\newcommand {\R} {{\mathbb R}}$ $\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}$ $\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}$ $\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}$ $\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}$ $\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}$ $\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}$

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 10

Abgabetermin: Di 28. Juni 2016 zu Beginn der Übung.

Finden Sie nicht-triviale Lösungen $x,y,z$ in ganzen Zahlen der Gleichungen:

\[3x^2-10y^2+13z^2=0,\]
\[5x^2+7y^2-13z^2=0,\]
\[-7x^2+11y^2+13z^2=0.\]

Finden Sie die Fundamentallösung der Pellschen Gleichung: \[x^2-571y^2=1.\]

Finden Sie möglichst viele Kongruenzzahlen $n\le 100$.

Seien $a,b,c$ ganze von $0$ erschiedene Zahlen. Für positive ganze Zahelen $n$ bezeichne $\alpha(n)$ die Anzahl der Tripel $(x,y,z)$ in $(\Z/n\Z)^3$, sodass $ax^2+by^2+cz^2=0$. Zeigen Sie, dass die Dirichletreihe \[Z(s):=\sum_{n\ge 1} \frac{\alpha(n)}{n^s}\] ein Eulerprodukt besitzt. Zeigen Sie, dass für jede nicht in $abc$ aufgehende Primzahl der $p$-te Eulerfaktor \[Z_p(s) = \sum_{k\ge 0} \frac{\alpha(p^k)}{p^{ks}}\] eine rationale Funktion in $p^{-s}$ ist.