Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 8

Abgabetermin: Di 14. Juni 2016 zu Beginn der Übung.

Zeigen Sie, dass die Abbildung \[ (u_1,u_2) = \left(\frac {\sin \frac \pi 2 x_1}{\cos \frac \pi 2 x_2}, \frac {\sin \frac \pi 2 x_2}{\cos \frac \pi 2 x_1}\right) \] die Menge \(P_2: 0\le x_1, x_2, x_1+x_2 \le 1\) in den Einheitswürfel \(C: 0\le u_1,u_2\le 1\) transformiert, und dass \[ \frac {du_1\wedge du_2}{1-u_1^2u_2^2} = \left(\frac {\pi}2\right)^2 dx_1\wedge dx_2 \] gilt.

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen diophantisch sind:

  1. die Menge der perfekten Quadrate,
  2. jede Restklasse modulo eines gegebenen Moduls \(m\),
  3. die Menge aller primitiven quadratischen Reste modulo einer gegebenen Primzahl \(p\).

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

  1. Die endliche Vereinigung diophantischer Mengen ist diophantisch.
  2. Der endliche Durchschnitt diophantischer Mengen ist diophantisch.
  3. Die beliebige Vereinigung diophantischer Mengen ist im Allgemeinen nicht diophantisch.
  4. Der beliebige Durchschnitt diophantischer Mengen ist im Allgemeinen nicht diophantisch.

Schreiben Sie ein Programm, welches zu gegebenem ganzahligen primitivem Spaltenvektor \(a\) eine Matrix in \(\text{GL}(n,\mathbb{Z})\) berechnet, deren erste Spalte gleich \(a\) ist.

Seien \(a_1,\dots,a_n\) positive ganze Zahlen mit ggT gleich \(1\). Für eine Zahl \(l\) bezeichne \(N(l)\) die Anzahl der Lösungen \(x_i\) in nicht-negativen ganzen Zahlen von \(a_1x_1+\cdots + a_nx_n=l\). Zeigen Sie: \[ \sum_{k=0}^l N(l)x^l = \frac 1{(1-x^{a_1})\cdots (1-x^{a_n})} . \] Wieviele Möglichkeiten hat man, \(10.000\) Euro in Münzen auszuzahlen?