Willkommen auf der Home Page des Moduls Elementare Zahlentheorie des Sommersemesters 2016.
Vorlesung: Prof. Dr. Nils-Peter Skoruppa
Übung: NN
Mission
Das primäre Ziel der Veranstaltung ist die Einführung in die Problemstellungen und grundlegenden Methoden der elementaren Zahlentheorie. Das sekundäre Ziel ist die Vermittlung und Vertiefung algebraischer Strukturen, immer orientiert an den begrifflich leicht fassbaren konkreten Objekten der Zahlentheorie. Die Zahlentheorie ist neben der Geometrie die älteste Disziplin mathematischen Denkens. Ihre grundlegenden Ideen durchziehen die gesamte Mathematik. Sie ist die theoretische Basis vieler Technologien des 21. Jahrhunderts, von effektiver Kompression von Daten in Media-Dateien, über Fehler-korrigierende Übermittlung von Daten, Sicherung und Authentifizierung sensibler Informationen, bis hin zu tiefen Einsichten in moderner theoretischer Physik wie etwa in Quantenfeldtheorie, der Theorie schwarzer Löcher oder Quantencomputing.
Anleitung zum effektiven Studium
Das Ziel der Veranstaltung ist die Vermittlung von Ideen und Methoden eines der zentralen Gebiete aus der Ideengeschichte der Menschheit auf wissenschaftlicher Basis. Da die Zahlentheorie trotz ihrer Konkretheit sehr komplex ist, würde man sehr schnell den Anschluss verlieren, wenn man nicht von Beginn an jede Vorlesung hinreichend nacharbeitet, um Schlussweisen und Argumente vertiefend zu verstehen (oder überhaupt erst während der Nachbearbeitung zu verstehen). Das Hauptproblem beim Verständnis ist die benutzte Sprache. Die moderne Mathematik benutzt eine subtile Sprache mit extrem hohem Abstraktionsgrad, durchsetzt von symbolischen Schreibweisen und Abkürzungen. Wer nicht daran arbeitet, diese Sprache zumindest in Grundzügen zu erlernen, wird scheitern müssen, wie ein Student an einem Musikinstrument scheitert, wenn er nicht vom ersten Tag an regelmäßig das Spielen auf dem Instrument übt. Wir bitten Sie, die Übungsaufgaben sehr Ernst zu nehmen. Sie sind die einzige Möglichkeit, die Sprache der Mathematik zu erlernen.
Die Übungen dienen dem Erlernen und der Perfektionierung der Sprache der Mathematik, hier speziell der Zahlentheorie. Sie sind so aufgebaut, dass der Studierende immer wieder implizit aufgefordert ist, entsprechende Teile der Vorlesung zum Vergleich nachzulesen. Die Methoden zum Lösen ergeben sich aus dem Verständnis der logischen Abfolge der Argumente zur Plausibilisierung der vorgestellten Tatsachen wie Sie sie in der Vorlesung erfahren. Wer an den Übungsaufgaben arbeitet, wird automatisch die Vorlesung nacharbeiten und vertiefend verstehen.
Es ist dabei wichtig, dass Sie lernen, selbstständig Lösungswege zu den Aufgaben zu finden. Der Ansatz dazu ist das Ringen um das Verstehen der sogenannten "Beweise" der in der Vorlesung vorgetragenen Tatsachen. Die Vermittlung vorgefertigter Lösungsschemata zur "Abrechnung" verschiedener Aufgabentypen kann und wird nie der Inhalt einer wissenschaftlichen Vorlesung an einer Universität sein. Das erklärte pädagogische Ziel einer wissenschaftlichen Ausbildung ist die Befähigung der Studierenden zur Entwicklung eigener Lösungsstrategien. In diesem Sinne werden Sie Hilfe und Anleitung in den Übungen erhalten.
Benutzung von Smartphones und Computern
Zur Lösung eines Teils der Übungsaufgaben ist es nötig, eine geeignete Mathematik-Software zu benutzen. Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit Zahlen. Wir können im Kopf vielleicht mit 4-stelligen Zahlen rechnen. Wenn wir es jedoch dabei belassen, hätten wir nur \(9999\) Objekte in der Vorlesung zu betrachten, und dafür bräuchten wir keine weitere Theorie. Also werden wir den Computer benutzen, um mit konkreten Beispielen in Größenordnungen arbeiten zu können, die geeignet sind, die Methoden und Ideen der Zahlentheorie hinreichend zu veranschaulichen und zu rechtfertigen.
Wir ermutigen Sie das System zu benutzen, mit dem Sie sich am besten auskennen. Im Extremfall kann das ein programmierbarer Taschenrechner sein. Ist dieser Vorschlag für Sie nicht hilfreich, so raten wir, sich für ein Account in der SageMathCloud zu registrieren. Sie können dann online mit Python oder der darauf basierenden Weiterentwicklung Sage arbeiten. Letzteres wird in letzter Zeit (zumindest in den USA) zunehmend im Lehrbetrieb an Schulen und Universitäten benutzt. Es gibt viele Einführungen zu Sage (eine einfache Suche im Netz wird Ihnen sofort weiterhelfen), es kommt schon von sich aus mit einem Tutorium und einer Kurzanleitung. Es ist leichter und intuitiver zu benutzen als ein Taschenrechner.
In den ersten Wochen genügt es Python pur, d.h. ohne die Erweiterungen von Sage, zu benutzen. Sie können dazu QPython auf Ihrem Smartphone installieren. Da Python beliebig lange Integer unterstützt, werden Sie schon damit interessante Rechnungen durchführen können.