Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 11

Abgabetermin: Di 7. Juli 2016 zu Beginn der Übung.

Sei \(y^2=f(x)\) eine elliptisch Kurve über \(\Q\). Zeigen Sie, dass \[\#\big\{(x,y)\in\F_p^2: y^2=f(x)\big\}-p = \sum_{j=0}^{p-1} \left(\frac{f(j)}p\right).\]

Sei \(u\) eine ganze Zahl. Parametrisieren Sie die Menge der rationalen Lösungen der Gleichung \(y^2=x^2(x-u)\). (Hinweis: Was ist das Urbild der Kurve \(y^2=x^2(x-u)\) unter \((x,t)\mapsto (x,tx)\)?)

Finden Sie jeweils ein rechtwinkliges Dreiecke mit rationalen Seitenlängen und Flächeninhalt gleich \(n=37,41,53\). (Hinweis: In SAGE gibt es die Klasse EllipticCurve, und diese besitzt die Methode an_element() besitzt.)

Sei \(k \lt l\). Zeigen Sie, dass \(F_k\) und \(F_l\) teilerfremd sind. (Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \(F_l=F_0F_1F_2\cdots F_{l-1}+2\).)