Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche Mittwochs oder freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2016 - Blatt 6

Abgabetermin: Di 24. Mai 2016 zu Beginn der Übung.

Bestimmen Sie alle Nullstellen modulo \(m\) des Polynoms \(f\) für

  1. \(f(x)=x^2 + 2\,x + 48\) und \(m=71\),
  2. \(f(x)=x^2+215\,x+1184\) und \(m=5183\),
  3. \(f(x)=x^2-1\) und \(m=1024\).

Bestimen Sie alle Primzahlen \(10^{12} \lt p \lt 10^{12}+200\) sodass \(x^2+x-1\equiv 0\bmod p\) eine Lösung besitzt.

Beweisen Sie das verallgemeinerte Quadratische Reziprozitätsgesetz, d.h. \[ \left(\frac ab\right)\left(\frac ba\right) = (-1)^{\frac {a-1}2\frac {b-1}2} \] für alle ungerade Zahlen \(a\) und \(b\).

  1. Zeigen Sie das das Dirichlet-Produkt assoziativ ist.
  2. Zeigen Sie, dass das Inverse einer multiplikativen arithmetischen Funktion (bzgl. des Dirichlet-Produkts) wieder multiplikativ ist.

Bestimmen Sie die summatorische Funktion der Liouville-Funktion \(\lambda\).