Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Freitag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2017 - Blatt 9

Abgabetermin: Do 6. Juli 2017 zu Beginn der Übungen.

Zeigen Sie, dass die Vereinigung und der Durchschnitt diophantischer Mengen wieder diophantisch ist.

Finden Sie alle ganzahligen Loesungen der Gleichung \[ 3x+7y+13z=1.\] Gibt es Loesungen in positiven ganzen Zahlen?

Finden Sie alle rationalen Loesungen der Gleichung \[g(x)=396495756*x^3 - 3736851572*x^2 + 11739562117*x - 12293532495 .\] Es ist \(g(\pi)=0.0000019\dots\). Warum?

Sei \(n\) eine positive ganze Zahl.

  1. Parametrisieren Sie fuer den Fall, dass \(n\) kein perfektes Quadrat ist, mittels Diophants Geradenbueschel-Methode die rationalen Punkte der Gleichung \[ x^2-ny^2 = 1 .\]
  2. Bestimmen Sie alle rationalen und ganzzahligen Loeungen der Gleichung \(x^2-ny^2 = 1\) fuer den Fall, dass \(n\) ein perfektes Quadrat ist.