Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Freitag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2017 - Blatt 10

Abgabetermin: Do 13. Juli 2017 zu Beginn der Übungen.

Entscheiden Sie, welche der folgenden Gleichungen nichtriviale Loesungen in ganzen Zahlen besitzt, und falls es Loesungen gibt, bestimmen Sie mindestens eine.

  1. \(5x^2 + 6y^2 -11z^2=0\),
  2. \(3x^2 -10y^2 -13z^2=0\),
  3. \(-2x^2 + 3y^2 -5z^2=0\),

Seien \(a,b,c\) von \(0\) verschiedene Zahlen und \(p\) eine ungerade Primzahl, die nicht in \(abc\) aufgeht. Bestimmen Sie die Anzahl der ganzen Zahlen, die folgende Kongruenz und Ungleichungen erfuellen \[ ax^2+by^2+cy^2\equiv 0\bmod p,\quad 0\le x,y,z\le p-1.\]

Bestimmen Sie die Fundamentalloesung der Pellschen Gleichung \[ x^2-17y^2 = 1.\]

Bestimmen Sie die Fundamentalloesung der Pellschen Gleichung \[ x^2-1000099y^2 = 1.\] (Hinweis: Versuchen Sie nicht, die Loesung mit der Hand zu berechnen.)