Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Freitag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche freitags zu Beginn der Übungen zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2017 - Blatt 6

Abgabetermin: Do 1. Juni 2017 zu Beginn der Übung.

1. Berechnen Sie die Primfaktorzerlegung von \(\sum_{i=1}^{10^{20}} i^3\).

2. Sei \(p\) eine ungerade Primzahl, und \(a(n):=\sum_{i=1}^n i^{p}\). Bestimmen Sie für jedes \(r\) modulo \(p\) die Menge aller \(n\) sodass \(a(n)\equiv r\bmod p\).

Bestimen Sie alle Primzahlen \(10^{12} \lt p \lt 10^{12}+200\) sodass \(x^2+x+2\equiv 0\bmod p\) eine Lösung besitzt.

Beweisen Sie das verallgemeinerte Quadratische Reziprozitätsgesetz, d.h. \[ \left(\frac ab\right)\left(\frac ba\right) = (-1)^{\frac {a-1}2\frac {b-1}2} \] für alle positiven ungeraden Zahlen \(a\) und \(b\).

  1. Zeigen Sie das das Dirichlet-Produkt assoziativ ist.
  2. Zeigen Sie, dass das Inverse einer multiplikativen arithmetischen Funktion (bzgl. des Dirichlet-Produkts) wieder multiplikativ ist.

Bestimmen Sie die summatorische Funktion der Liouville-Funktion \(\lambda\).