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Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2017 - Blatt 1

Zur Vertiefung der Vorlesung - keine Abgabe.

Implementieren Sie das Sieb des Eratosthenes in Ihrem bevorzugten Computer-Algebra-System (CAS) und berechnen Sie damit die ersten \(10000\) Primzahlen.

Zeichnen Sie mittels Ihres CAS den Graphen der Funktion \[ \pi(x)=\#\{p\le x\mid p\text{ Primzahl}\} \] über dem Intervall \(0\le x\le 10\,000\).

Beweisen Sie für beliebige ganze Zahlen \(a\) und \(b\), dass \[ \sym{kgV}(a,b)\cdot{\sym{ggT}(a,b)}={ab} . \]

Finden Sie ganze Zahlen \(a,b,c\), sodass \(\sym{kgV}(a,b,c)\not=\frac {abc}{\sym{ggT}(a,b,c)}\).

Für eine positive ganze Zahl \(n\) bezeichne \(\sigma_0(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\).

  1. Berechnen Sie alle \(1441926535 \le h \le 1441928509\), sodass \(\sigma_0(h)=16\) und \(h\) eine ISBN-10 ist. Was ist der Titel des Buches, dessen ISBN-10-Nummer das 12-te dieser \(h\) ist?
  2. Zeigen Sie, dass \(\sigma_0(n)=\prod_{p^\nu\|n}(\nu+1)\). Hier läuft \(p^\nu\) über alle Primzahlpotenzen, die \(n\) genau teilen (d.h. sodass \(p^\nu|n\) und \(p^{\nu+1}\) die Zahl \(n\) nicht teilt).

Nach der Vorlesung gibt es zu gegebenen ganzen Zahlen \(m\) und \(q\not=0\) ganze Zahlen \(x\) and \(r\), sodaß \[ m=qx+r\quad\text{und}\quad 0\le r \lt |q| \] gilt. Zeigen Sie, dass \(q\) und \(r\) durch die vorstehende Gleichung und Ungleichung eindeutig bestimmt sind.