Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche zu Beginn der Donnerstag-Vorlesung zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2018 - Blatt 9

Abgabetermin: Do 29. Juli 2018 zu Beginn der Vorlesung.

Zeigen Sie, dass die Vereinigung und der Durchschnitt diophantischer Mengen wieder diophantisch ist.

Finden Sie alle ganzahligen Loesungen der Gleichung \[ 3x+7y+13z=1.\] Gibt es Loesungen in positiven ganzen Zahlen?

Finden Sie alle rationalen Loesungen der Gleichung \[g(x)=396495756*x^3 - 3736851572*x^2 + 11739562117*x - 12293532495 .\] Es ist \(g(\pi)=0.0000019\dots\). Warum?

Implementieren Sie in Ihrem CAS eine Funktion, die zu gegebenem primitivem \(n\)-Vektor \(a\) eine Matrix \(V\) in \(\sym{GL}(n,\Z)\) ausgibt, sodass \(a=(1,0,\dots,0)V\) ist.

Bestimmen Sie alle rationalen und ganzzahligen Loeungen der Gleichung \(x^2-ny^2 = 1\) fuer den Fall, dass \(n\) ein perfektes Quadrat ist.