Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche zu Beginn der Donnerstag-Vorlesung zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
\(\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}\) \(\newcommand {\C} {{\mathbb C}}\) \(\newcommand {\E} {{\mathbb E}}\) \(\newcommand {\F} {{\mathbb F}}\) \(\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}\) \(\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}\) \(\newcommand {\R} {{\mathbb R}}\) \(\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}\) \(\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}\) \(\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}\) \(\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}\) \(\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}\) \(\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}\)

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2018 - Blatt 1

Implementieren Sie das Sieb des Eratosthenes in Ihrem bevorzugten Computer-Algebra-System (CAS) und berechnen Sie damit die ersten \(10000\) Primzahlen.

Zeichnen Sie mittels Ihres CAS den Graphen der Funktion \[ \pi(x)=\#\{p\le x\mid p\text{ Primzahl}\} \] über dem Intervall \(0\le x\le 10\,000\).

Beweisen Sie für beliebige ganze Zahlen \(a\) und \(b\), dass \[ \sym{kgV}(a,b)\cdot{\sym{ggT}(a,b)}={ab} . \]

Finden Sie ganze Zahlen \(a,b,c\), sodass \(\sym{kgV}(a,b,c)\not=\frac {abc}{\sym{ggT}(a,b,c)}\).

Für eine positive ganze Zahl \(n\) bezeichne \(\sigma_0(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\).

  1. Berechnen Sie alle \(1441926535 \le h \le 1441928509\), sodass \(\sigma_0(h)=16\) und \(h\) eine ISBN-10 ist. Was ist der Titel des Buches, dessen ISBN-10-Nummer das 12-te dieser \(h\) ist?
  2. Zeigen Sie, dass \(\sigma_0(n)=\prod_{p^\nu\|n}(\nu+1)\). Hier läuft \(p^\nu\) über alle Primzahlpotenzen, die \(n\) genau teilen (d.h. sodass \(p^\nu|n\) und \(p^{\nu+1}\) die Zahl \(n\) nicht teilt).

Nach der Vorlesung gibt es zu gegebenen ganzen Zahlen \(m\) und \(q\not=0\) ganze Zahlen \(x\) and \(r\), sodaß \[ m=qx+r\quad\text{und}\quad 0\le r \lt |q| \] gilt. Zeigen Sie, dass \(q\) und \(r\) durch die vorstehende Gleichung und Ungleichung eindeutig bestimmt sind.