Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche zu Beginn der Donnerstag-Vorlesung zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2018 - Blatt 8

Abgabetermin: Do 21. Juni 2018 vor der Vorlesung.

Zeigen Sie für \(n\ge 1\):\[\lambda(n) = \sum_{m^2\mid n} \mu(n/m^2).\]

Beweisen Sie für \(n\ge 1\): \[\sum_{\begin{subarray}{c}1\le k\le n\\ \gcd(k,n)=1\end{subarray}} e^{2\pi i k/n} = \mu(n).\] (Hinweis: Schreiben Sie die charakteristische Funktion der Relation "\(\gcd(k,n)=1\)" mittels der \(\mu\)-Funktion.)

Beweisen Sie \[.\sum_{n\ge 1} \frac {\sigma_0(n^2)}{n^s} = \frac {\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}\]

Finden Sie die ersten 50 U-Zahlen. Dabei ist eine "U-Zahl" eine natuerliche Zahl, die nicht gleich der Summe der eigentlichen Teiler (d.h. der Teiler \(d\mid n, d\lt n\)) irgend einer Zahl \(n\) ist.