Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche zu Beginn der Donnerstag-Vorlesung zur Korrektur abgegeben werden.
Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2018 - Blatt 6
Abgabetermin: Do 7. Juni 2017 zu Beginn der Vorlesung.
Bestimmen Sie mit Hilfe des Gausschen Kriteriums welche Kongruenzen \(p\) erfüllen muss, damit \[ \left(\frac 3p\right)=+1 \] gilt.
Für \(\alpha=a+4\Z\) und \(\beta=b+4\Z\) aus \(\left(\Z/4\Z\right)^*\) sei \[\langle \alpha|\beta\rangle := (-1)^{\frac {a-1}2 \cdot \frac {b-1}2}.\] Zeigen Sie, dass \((\alpha,\beta)\mapsto \langle\alpha|\beta\rangle\) eine symmetrische bilineare Abbildung \[ \left(\Z/4\Z\right)^*\times \left(\Z/4\Z\right)^* \rightarrow \{\pm1\}\] definiert.
Leiten Sie mittels der vorangehenden Aufgabe das verallgemeinerte Quadratische Reziprozitätsgesetz ab, d.h. die Identität \[ \left(\frac ab\right)\left(\frac ba\right) = (-1)^{\frac {a-1}2\frac {b-1}2} \] für alle positiven ungeraden Zahlen \(a\) und \(b\).
Sei \(f(x)\) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. F\"ur eine ungerade Primzahl \(p\) bezeichne \(a(p)\) die Anzahl der Lösungen \((x,y)\in\F_p^2\) der Gleichung \(y^2=f(x)\). Zeigen Sie: \[a(p) = p+\sum_{x=0}^{p-1} \left(\frac {f(x)}p\right).\]
Bestimen Sie alle Primzahlen \(10^{12} \lt p \lt 10^{12}+200\) sodass \(x^2+x+2\equiv 0\bmod p\) eine Lösung besitzt.