Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Donnerstag abends von dieser Seite heruntergeladen werden, und die Lösungen können (soweit nicht anders angegeben) jeweils in der darauf folgenden Woche zu Beginn der Donnerstag-Vorlesung zur Korrektur abgegeben werden.

Übungsblätter

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$\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}$ $\newcommand {\C} {{\mathbb C}}$ $\newcommand {\E} {{\mathbb E}}$ $\newcommand {\F} {{\mathbb F}}$ $\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}$ $\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}$ $\newcommand {\R} {{\mathbb R}}$ $\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}$ $\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}$ $\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}$ $\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}$ $\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}$ $\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}$

Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie 2018 - Blatt 7

Abgabetermin: Do 14. Juni 2018 zu Beginn der Übung.

(i) Seien $f(x)$ und $F(x)$ Funktionen in der reellen Variablen $x>0$. Zeigen Sie, dass \[ F(x)=\sum_{l=1}^\infty f(x^{l}) \] die Identität \[ f(x) = \sum_{m=1}^\infty {\mu(m)} F(x^{m}) \] impliziert und umgekehrt (hierbei bedeutet $\mu$ die Möbius-Funktion).

(ii) Zeigen Sie, dass für $|t| < 1$ gilt \[ e^{-t} = \prod_{n=1}^\infty (1-t^n)^{\frac {\mu(n)}n} . \]

Auf dem Ring der arithmetischen Funktionen definieren wir folgenden Operator $\Delta$: \[(\Delta f)(n)=f(n+1)-f(n)\qquad(n\ge 1).\] Mit $\Delta^k$ bezeichnen wir die $k$-fache Hintereinaderausführung von $\Delta$.

Beweisen Sie, dass es zu jedem Polynom $f(x)$ ein Polynom $F(x)$ gibt, sodass $F(x+1)-F(x)=f(x)$.
Folgern Sie, dass eine arithmetische Funktion $f$ ganau dann polynomial ist (d.h. dass $f$ zu einem Polynom auf $\R$ fortgesetzt werden kann) wenn $\Delta^kf=0$ für ein geeignetes $k$ gilt.

Sei $f(x)=ax^r+\cdots$ ein Polynom $r$-ten Grades. Zeigen Sie, dass dann \[\frac 1{n^r}\sum_{1\le k\le n} f(n/k) \sim a\sum_{k=1}^n k^{-r}.\]
Sei $r\ge0$ eine ganze Zahl. Beweisen Sie \[\frac 1n \sum_{k=1}^n \sigma_r(n) \sim C\cdot n^{r}\zeta(r+1)\] mit einer Konstanten $C$. Was ist der Wert von $C$?

Beweisen Sie (in den Bezeichungen der Vorlesung): \[\mathcal{A}_{\mathrm{pg}}^\ast = \mathcal{A}^\ast \cap \mathcal{A}_{\mathrm{pg}}.\]

Sei $Q(x)=x^2+ax+b$ ein quadratisches Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, und des bezeichne $f(n)$ die Anzahl der Nullstellen modulo $n$. Zeigen Sie, dass $D_f(s)=\sum_{n\ge 1} f(n)n^{-s}$ ein Eulerprodukt besitzt, und zeigen Sie, dass für jedes $p$ welches nicht die Diskriminante von $f$ teilt, der $p$-te Eulerfaktore eine rationale Funktion von $p^{-s}$ ist. (Die Voraussetzung zur Diskriminante ist überflüssig, jedoch ist der Nachweis nicht trivial).