Vorträge
Beachten Sie bitte, dass Anwesenheitspflicht bei allen Vorträgen besteht. Wer also absieht, dass er zu einem der nachstehenden Termine nicht erscheinen kann, sollte mich umgehend kontaktieren. Am 5. Mai (Himmelfahrt) und 26. Mai (Fronleichnam) findet das Seminar nicht statt.
We shall follow Part I of Serre's book on 'Linear representations of finite groups'.
| Datum | Votragende(r) | Vortragstitel | Literatur | Vortrag |
|---|---|---|---|---|
| 12. Mai | Markus Siepe | Generalities on linear representations | Chapter 1 | |
| 19. Mai | Lisa Dilling | Character theory I | Section 2.1-2.3 | |
| 9. Juni | Frederik Melcher | Character theory II | Section 2.4-2.7 | |
| 23. Juni | Alexander Dicke | Subgroups, products, induced representations | Chapter 3 | |
| 7. Juli | David Langefeld | Examples | Chapter 5 |
Anmerkungen
Vortrag 1
Der wesentliche Begriff, der im esrten Vortrag eingeführt wurde, ist der Begriff der "Linearen Darstellung" und der "Matrixdarstellung" und ihr Zusamenhang, und die wesentliche Tatsache ist die Zerlebarkeit einer linearen oder Matrixdarstelllung in irreduzible Bestandteile. Die folgende Tabelle stellt dies noch einmal dar.
| Lineare Darstellung | Matrixdarstellung | Zusammemhang |
|---|---|---|
| Gruppenhomomorphismus \[\rho:G\rightarrow \operatorname{GL}(V)\] | Gruppenhomomorphismus \[R:G\rightarrow \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})\] | Jedem \(\rho\) kann man ein \(R\) zuordnen (und umgekehrt) via \[I\circ \rho(s) = R(s)\circ I\] mittels eines \[I:V\xrightarrow{\cong}\mathbb{C}^n\] |
| Für endliches \(G\) kann jeder Darstellungsraum in eine direkte Summe invarianter irrezibler Unterr"aume zerlegt werden: \[V = V_1\oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_r.\] | Für endliches \(G\) gibt es zu jeder Matrixdarstellung \(R\) eine invertierbare Matrix \(T\), sodass \(T^{-1}R(s)T\) für jedes \(s\) in \(G\) eine Blockmatrix ist: \begin{multline*} T^{-1}R(s)T \\ = R_1(s)\oplus R_2(s) \oplus \cdots\\ \cdots \oplus R_r(s).\end{multline*} Dabei sind die \(R_j\) ireduzible Matrixdarstellungen. | Von einer Zerlegung des Darstellungsraums gelangt man zu einer entsprechenden Blockmatrixzerlegung einer zugehörigen Matrixdarstellung via \[I_j\circ \big(\rho|_{V_j}\big)(s) = R_j(s)\circ I_j,\] mit geeignetem \[I_j:V_j\xrightarrow{\cong} \mathbb{C}^{n_j}\] |
Der zweite wesentliche Begriff ist der Begriff der "regulären Darstellung" einer endlichen Gruppe \(G\). Der Darstellungsraum der regulären Darstellung ist der Raum \(\mathbb{C}[G]\) aller Abbildungen \(G\rightarrow \mathbb{C}\), und die Darstellung von \(r_G\) von \(G\) auf diesem Raum ist definiert durch \[ r_G(s)(e_t) = e_{st}.\] Hierbei bezeichnet \(e_t\) (\(t\in G\)) die "kanonische Basis" von \(\mathbb{C}[G]\): \[ e_t(u) = \begin{cases} 1&\text{falls }u=t,\\ 0&\text{sonst.} \end{cases} \]