Die wöchentlichen Übungsaufgaben können jeweils Freitag abends von dieser Seite heruntergeladen werden. Die Lösungen besprechen wir an verschiedenen, im Einzelnen vereinbarten Terminen.

Übungsblätter

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$\newcommand {\mat}[4] {\left(\begin{smallmatrix}{#1}&{#2}\\{#3}&{#4}\end{smallmatrix}\right)}$ $\newcommand {\C} {{\mathbb C}}$ $\newcommand {\E} {{\mathbb E}}$ $\newcommand {\F} {{\mathbb F}}$ $\newcommand {\Pro} {{\mathbb P}}$ $\newcommand {\Q} {{\mathbb Q}}$ $\newcommand {\R} {{\mathbb R}}$ $\newcommand {\Z} {{\mathbb Z}}$ $\newcommand {\P}[1] {{\mathbb P}^{#1}}$ $\newcommand {\sym}[1] {{\operatorname{#1}}}$ $\newcommand {\SL}[1] {{\sym{SL}(2,#1)}}$ $\newcommand {\hil}[3] {\left({#2},{#3}\right)_{#1}}$ $\newcommand {\leg}[2] {\left(\tfrac{#1}{#2}\right)}$

Übungsaufgaben zur Analytischen Zahlentheorie - Blatt 2

Zur Vertiefung der Vorlesung - keine Abgabe.

Zeigen Sie das für die diskrete Fouriertransformation $\mathcal{F}_N$ gilt $\{\mathcal{F}_N^2f\}(x) = f(-x)$.

Zeigen Sie, dass für einen Dirichlet-Charakter $\chi$ modulo $N$ die folgenden Aussagen äquivalent sind:

Es gibt zu jedem positiven Teiler $t\mid N$, $t\not=N$ eine ganze Zahl $x\equiv 1 \bmod t$ mit $\chi(x)\not=1$.
Es gibt zu keinem positiven Teiler $t\mid N$, $t\not=N$ einen Dirichlet-Charakter $\psi$ modulo $t$, sodass $\chi(x)=\psi(x)$ für alle $x$ mit $\gcd(x,N)=1$ gilt.

Zeigen Sie: Für einen primitiven Dirichlet-Charakter $\chi$ modulo $N$ gilt \[\big|\sqrt N^{-1}\sum_{x\bmod N}\chi(x)\,e^{2\pi i x/N}\big|=1.\]

Tabellieren Sie (z.B. mit SAGE) die charakteristischen Polynome der algebraischen Zahl \[\tau(\chi) := \sqrt N^{-1}\sum_{x\bmod N}\chi(x)\,e^{2\pi i x/N}\] für primitive kubische Dirichlet-Charaktere $\chi$.

Sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe, $d$ ein Teiler der Gruppenordnung und $a$ ein Element von $G$. Dann gilt \[\sum_{\chi^d=1} \chi(a) = \begin{cases} [G:G^d]&\text{falls $a^d=1$,}\\ 0&\text{sonst.} \end{cases} \] Hierbei ist die Summe über alle linearen Charaktere $\chi$ von $G$ zu nehmen, für die $\chi^d=1$ ist.