Willkommen auf der Home Page des Moduls Jacobiformen vom Gitter Index.
Vorlesung: Prof. Dr. Nils-Peter Skoruppa
Übung:
Prof. Dr. Nils-Peter Skoruppa
Eintrag im LSF der Universität
Einordnung und Voraussetzungen
Dies ist eine vierstündige Vorlesung für Studierende im Master Mathematik. Es werden Kenntnisse in elementarer Zahlentheorie, in Algebra und in Funktionentheorie, wie sie in den entsprechenden Moduln im Bachelor-Studium angeboten werden, vorausgesetzt.
Es wird zusätzlich eine zweistündige Übung angeboten, in der wir Fragen zur Vorlesung beantworten, in der Vorlesung aufgeworfenen Fragen nachgehen oder mittels Sage verschiedene Aspekte der Theorie an konkreten Fällen studieren und gegebenenfalls auch notwendige Erweiterungen zu Sage erarbeiten. Es werden keine Kenntnisse zu Sage vorausgesetzt.
An die Vorlesung kann sich eine Masterthesis zum behandelten Themengebiet anschließen.
Inhalt
Jacobiformen sind Hybridgebilde, die die klassischen Eigenschaften von Thetafunktionen (wie der Weierstrassschen \(\sigma\)-Funktion) und von elliptischen Modulformen (wie die Eisensteinreihe \(E_4=1+240\sum_{n\ge 1}\sigma_3(n)q^n\)) vereinen. Sie treten in natürlicher Weise in den folgenden Zusammenhängen auf::
- In der Theorie der elliptischen Kurven, allgemeiner der Theorie der \(L\)-Reihen,
- In der Theorie unendlicher-dimensionaler Lie-Algebren, insbesondere der Quantenfeldtheorie,
- in der Theorie der Modulräume algebraischer Varietäten, und damit zusammenhängend, der Theorie der Modulformen auf orthogonalen Gruppen (Stichwort: automorphe Produkte),
- in der Kodierungstheorie, etwa bei verallgemeinerten Gewichtszählern von Kodes.
In den letzten Jahren entstand aufgrund von Entwicklungen in der Geometrie und der Physik ein zunehmender Bedarf an einer Erweiterung der klassischen Theorie der Jacobiformen [E-Z] zu Jacobiformen mit Gitter Index und zu Jacobiformen über Zahlkörpern.
In der Vorlesung werden wir die Theorie der Jacobiformen vom Gitter-Index über der rationalen Zahlen entwickeln, die allerdings die klassischen Theorie umfasst, sodass letztere als Spezialfall der allgemeinen Theorie vermittelt wird. Nach allgemeinen grundlegenden Definitionen und Betrachtungen werden wir Dimensions-Formeln und Hecke-Theorie behandeln. Danach werden wir uns mit der expliziten Konstruktion von Jacobiformen beschäftigen. Sofern noch Zeit bleibt, werden wir verschiedene Anwendungen diskutieren. Ein besonderer Reiz dieser neuen Theorie liegt in dem interessanten Wechselspiel zwischen der rein arithmetischen Theorie der Gitter und den analytischen und arithmetischen Eigenschaften der Jacobiformen.
Literatur
[E-Z] M. Eichler, D. B. Zagier: The Theory of Jacobi Forms (Progress in Mathematics), Birkhäuser, 23. August 2014
[B-S] H. Boylan, N-P. Skoruppa, Jacobi forms of lattice index. preprint (will be available at the end or after the course)
(als Erweiterung, nicht unbedingt für die Vorlesung, geeignet) [Bo] H. Boylan: Jacobi Forms, Finite Quadratic Modules and Weil Representations over Number Fields (Lecture Notes in Mathematics), Springer, 15. Dezember 2014